Trigonometria 9.º Ano

Razões trigonométricas Definição

Num triângulo retângulo, para um ângulo agudo α, definem-se três razões em função dos seus lados:

Em relação ao ângulo α no vértice A:

Seno

sin α = COH

Cosseno

cos α = CAH

Tangente

tan α = COCA

Exemplo — triângulo 3-4-5 No triângulo retângulo [ABC] com AB = 4 cm (CA), BC = 3 cm (CO) e AC = 5 cm (H):

sin α = 35 = 0,6000

cos α = 45 = 0,8000

tan α = 34 = 0,7500

💡 Ângulos com a mesma amplitude têm sempre o mesmo seno, cosseno e tangente, independentemente do tamanho do triângulo.

Mnemónica SOHCAHTOA Como memorizar

SOHCAHTOA é uma palavra-código para memorizar as três razões trigonométricas:

SOH

Seno = Cateto Oposto Hipotenusa

sin α = COH

CAH

Cosseno = Cateto Adjacente Hipotenusa

cos α = CAH

TOA

Tangente = Cateto Oposto Cateto Adjacente

tan α = COCA

SOH · CAH · TOA

As letras a vermelho indicam as iniciais de cada razão e dos lados que a definem.

Resolver um triângulo retângulo Procedimento

Resolver um triângulo é determinar os 6 valores: amplitudes dos 3 ângulos e comprimentos dos 3 lados.

→ Conhecemos α e H: CO = H · sin α e CA = H · cos α
→ Conhecemos α e CO: H = COsin α e CA = COtan α
→ Conhecemos CO e CA: tan α = COCA → α = tg⁻¹(COCA)

Exemplo No triângulo retângulo [ABC], α = 35° e AC = 10 cm:
Nota: sin 35° ≈ 0,5736, cos 35° ≈ 0,8192 e tan 35° ≈ 0,7002.
CO = H · sin α
CO = 10 · 0,5736
CO ≈ 5,7360 cm

CA = H · cos α
CA = 10 · 0,8192
CA ≈ 8,1920 cm

Valores notáveis Memorizar

Ângulo	sin	cos	tan
30°	12 = 0,5000	√32 ≈ 0,8660	1√3 ≈ 0,5774
45°	√22 ≈ 0,7071	√22 ≈ 0,7071	1,0000
60°	√32 ≈ 0,8660	12 = 0,5000	√3 ≈ 1,7321

Propriedades das razões trigonométricas Para saber

Considera dois triângulos retângulos com ângulo agudo α com a mesma amplitude. Os triângulos são semelhantes (critério AA), logo os lados são proporcionais:

BCAC = B'C'A'C' ⟹ sin α = sin α | cos α = cos α | tan α = tan α

Ângulos com a mesma amplitude têm o mesmo seno, o mesmo cosseno e a mesma tangente.

Como a hipotenusa é o lado de maior comprimento num triângulo retângulo, e os comprimentos são números positivos, podemos concluir:

0 < C.O.H < 1 ou seja, 0 < sin α < 1

0 < C.A.H < 1 ou seja, 0 < cos α < 1

💡 Isto significa que o seno e o cosseno de qualquer ângulo agudo são sempre números entre 0 e 1 (exclusive).

Altera o ângulo e observa como mudam as razões trigonométricas.

Ângulo α 35°

seno

0,5736

C.O. H

cosseno

0,8192

C.A. H

tangente

0,7002

C.O. C.A.

🧩 Constrói a Fórmula Arrasta

Observa o triângulo e o ângulo assinalado. Arrasta cada fracção para o lugar correto — sin, cos ou tan. Podes arrastar com o dedo no telemóvel.

Triângulo 1 de 3

Arrasta uma fração para sin, cos ou tan:

sin α =

cos α =

tan α =

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Valores aproximados com 4 casas decimais das razões trigonométricas para ângulos de 0° a 90°.

Ângulo	sin	cos	tan

Scientific Calculator

DEG ✓

RAD

GRAD

sin(30)

0,5000

SIN α

cateto oposto

hipotenusa

0,5000

COS α

cat. adjacente

hipotenusa

0,8660

TAN α

cateto oposto

cat. adjacente

0,5774

Rápido:

⚠️ Modo DEG obrigatório em exame — verifica sempre antes de começar. Se a calculadora mostrar RAD ou GRAD os resultados estão errados!

Exemplos de utilização

Para cos 42°: pressiona cos → 4 2 → = → 0,7431

Para sin 26°: pressiona sin → 2 6 → = → 0,4384

Para tan 40°: pressiona tan → 4 0 → = → 0,8391

Funções inversas — para calcular o ângulo a partir da razão:
sin⁻¹(0,6000) = ?°: pressiona sin⁻¹ → 0.6 → = → 36,8699° ≈ 37°
cos⁻¹(0,5000) = ?°: pressiona cos⁻¹ → 0.5 → = → 60,0000°
tan⁻¹(0,7500) = ?°: pressiona tan⁻¹ → 0.75 → = → 36,8699° ≈ 37°

🏗️

Arquitetura e Construção

Inclinações, rampas e telhados

Uma rampa de acesso tem 6 m de comprimento e faz um ângulo de 10° com o chão. A trigonometria permite calcular a sua altura sem medir diretamente:

altura 6

= sin 10° ⟹ altura = 6 × 0,1736 ≈ 1,04 m

Num telhado com inclinação de 30° e meia-largura de 4 m, o comprimento da vertente é:

4 vertente

= cos 30° ⟹ vertente ≈ 4,62 m

Rampa de acesso — sin 10°

💡 Sabias que? Os engenheiros da Torre Eiffel usaram trigonometria para calcular os ângulos das 18 000 peças metálicas. E na construção de rampas para cadeiras de rodas, a lei impõe uma inclinação máxima — calculada exactamente com sin ou tan! → Trigonometria (Wikipédia PT)

🗺️

Orientação e Mapas

Calcular distâncias sem medir em linha reta

Imagina que sais de casa e caminhas 500 m em linha reta numa direção de 40° em relação ao norte. Quanto te afastaste para este e para norte?

deslocamento para este = 500 × sin 40° ≈ 321 m
deslocamento para norte = 500 × cos 40° ≈ 383 m

💡 É assim que as apps de navegação no telemóvel calculam a tua posição passo a passo — decompondo cada troço do percurso nas suas componentes horizontal e vertical.

Como ler o diagrama: a linha azul é o teu percurso real (hipotenusa). A linha laranja mostra o quanto avançaste para este (cateto oposto ao ângulo de 40°). A linha verde mostra o quanto avançaste para norte (cateto adjacente).

Percurso de 500 m a 40° do norte

💡 Sabias que? O GPS no teu telemóvel usa este mesmo princípio — calcula distâncias a vários satélites e usa trigonometria para determinar a tua posição exacta na Terra. → GPS (Wikipédia PT) → Trigonometria (Wikipédia PT)

🏢

Medir alturas inacessíveis

Ângulo de elevação — o método dos topógrafos

Um topógrafo quer medir a altura de um edifício. Coloca-se a 50 m da base e mede o ângulo de elevação de 35° até ao topo. Sem subir ao edifício:

altura 50

= tan 35° ⟹ altura = 50 × 0,7002 ≈ 35,0 m

Este é exactamente o método que engenheiros e topógrafos usam para medir edifícios, montanhas e torres sem acesso direto ao topo.

🔭 O que é um teodolito?
O topógrafo usa um instrumento chamado teodolito — um aparelho de precisão que mede com exactidão os ângulos horizontais e verticais. Com essas medidas e utilizando as razões trigonométricas, é possível determinar distâncias e alturas inacessíveis sem as medir directamente. É um instrumento fundamental em topografia, construção civil e engenharia.

Ângulo de elevação — tan 35°

💡 Eratóstenes usou este mesmo princípio para medir a circunferência da Terra em 240 a.C.! → Teodolito (Wikipédia PT) → Ângulo de elevação (Wikipédia PT)

⚽

Desporto e Actividades ao Ar Livre

Calcular distâncias e alturas em situações reais

Um árbitro de futebol quer saber a que distância do poste está um jogador. O jogador vê o topo do poste (com 2,44 m) com um ângulo de elevação de 30°. Qual é a distância ao poste?

tan 30° = 2,44d ⟹ d = 2,44tan 30° ≈ 4,23 m

Nota: tan 30° ≈ 0,5774. d = 2,44 ÷ 0,5774 ≈ 4,23 m

No atletismo, um treinador mede o ângulo de elevação do topo de um obstáculo (1 m) a partir de 3 m de distância: tan α = 13 ≈ 0,3333, logo α ≈ 18°. Conhecer este ângulo ajuda a programar o treino de salto.

Ângulo de elevação para o poste

💡 Sabias que? Os treinadores de atletismo e futebol usam hoje aplicações de vídeo que calculam automaticamente ângulos e distâncias com trigonometria — para analisar a técnica dos atletas. → Trigonometria (Wikipédia PT)

🔭

Astronomia e Ciência

Medir o que não se pode tocar

Em 240 a.C., Eratóstenes conseguiu determinar o comprimento da circunferência da Terra — a distância à volta da Terra — usando apenas uma vara, a sua sombra e conhecimentos de geometria.

Como fez? Ao meio-dia de verão, em Siena (Egipto), o Sol ficava exactamente a pino — não havia sombra. No mesmo momento, em Alexandria (a cerca de 800 km a norte), uma vara vertical projectava uma sombra que formava um ângulo de 7,2°.

💡 Ideia chave — regra de três simples:

Ângulo	Distância
7,2°	800 km
360°	x

x = 360 × 800 7,2 = 40 000 km

Com esta informação, Eratóstenes concluiu que a circunferência da Terra é de aproximadamente 40 000 km.

📌 O valor real é cerca de 40 075 km — erro inferior a 2%, sem tecnologia moderna!

Método de Eratóstenes (240 a.C.)

💡 Eratóstenes mediu a Terra sem sair do Egipto — só a partir de sombras, da distância entre duas cidades e de uma proporção simples. Um resultado extraordinário para a época! → Eratóstenes (Wikipédia PT) → Khan Academy PT: geometria

📜 2000 anos de Trigonometria Linha do tempo

~1800 a.C. — Babilónia

Os babilónios já conheciam relações entre lados de triângulos retângulos. A famosa tábua de argila Plimpton 322 contém ternos pitagóricos — indício de que estudavam triângulos retângulos séculos antes de Pitágoras.

~150 a.C. — Hiparco de Niceia (Grécia)

Considerado o pai da trigonometria. Criou a primeira tabela de cordas (precursora das tabelas de senos) para prever posições de planetas e estrelas. Dividiu o círculo em 360° — convenção que usamos até hoje.

~100 d.C. — Ptolomeu (Egipto/Grécia)

No Almagesto, compilou e expandiu as tabelas de Hiparco. Desenvolveu identidades trigonométricas e aplicou a trig à criação de mapas do céu — usados por navegadores durante mais de 1000 anos.

~500 d.C. — Aryabhata (Índia)

Matemático indiano que introduziu o conceito de seno (jya) em vez de corda. A palavra "seno" chegou ao português por via árabe: jya → jiba → jaib → sinus (latim) → seno.

~900–1100 d.C. — Matemáticos Islâmicos

Al-Battani, Al-Buzjani e outros introduziram o cosseno, tangente e cotangente como funções independentes. Criaram tabelas trigonométricas de enorme precisão e aplicaram a trig à astronomia e à navegação no Mediterrâneo.

1595 — Georg Joachim Rheticus (Europa)

Publicou as primeiras tabelas trigonométricas baseadas em triângulos (não em círculos), com 10 casas decimais de precisão — um trabalho monumental que demorou décadas e usou centenas de calculadores humanos.

Séc. XVII–XVIII — Newton, Leibniz, Euler

Leonhard Euler unificou a trigonometria com a análise matemática, definindo sin e cos como funções de números reais. A famosa Fórmula de Euler — e^iθ = cos θ + i·sin θ — ligou trig, álgebra e análise complexa.

Hoje — Era Digital

A trigonometria está em todo o lado: processamento de imagem, compressão de áudio e vídeo, gráficos 3D de videojogos, inteligência artificial, engenharia de telecomunicações, medicina (ecografias, ressonâncias magnéticas) e muito mais.

💡 Para refletir: A trigonometria foi desenvolvida ao longo de 2000 anos por civilizações da Grécia, Índia, mundo islâmico e Europa — um exemplo perfeito de como o conhecimento matemático é universal e cumulativo.

🧮 Curiosidades matemáticas Sabia que?

Sin²α + cos²α = 1 — Esta identidade fundamental é apenas o Teorema de Pitágoras escrito em linguagem trigonométrica. Para qualquer ângulo α, a soma dos quadrados do seno e do cosseno é sempre 1.

sin²α + cos²α = 1 ⟺ CO² + CA² = H² (Pitágoras)

Ângulos complementares: sin α = cos (90° − α). O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar — daí os nomes seno e co-seno (complemento do seno).

sin 30° = cos 60° = 0,5000 | sin 37° = cos 53° ≈ 0,6018

💡 Desafio: Consegues perceber porque é que sin 45° = cos 45°? Pensa no triângulo isósceles retângulo...

Agrupamento de Escolas Pedro Eanes Lobato

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